Question

9．（1）如圖所示．在△ABC中，射影定理可表示為a=b•cosC+c•cosB．其中a，b，c分別為角A，B，C的對邊，類比上述定理．寫出對空間四面體性質(zhì)的猜想．
（2）已知在Rt△ABC中．AB⊥AC，AD⊥BC于D，有$\frac{1}{AD^2}$=$\frac{1}{AB^2}$+$\frac{1}{AC^2}$成立．那么在四面體A一BCD中，類比上述結(jié)論，你能得怎樣的猜想，說明猜想是否正確并給出理由．

Answer 1

分析 （1）這是一個升維類比，線類比為面，線線角類比為面面角．
（2）利用平面中的射影定理證明；將平面中的三角形類比成空間的三棱錐，三角形的兩邊垂直類比成三棱錐的三棱垂直，得到類比性質(zhì)通過作輔助線將空間的證明問題轉(zhuǎn)化為三角形中的性質(zhì)．

解答 解：（1）如圖，在四面體P-ABC中，S₁、S₂、S₃、S分別表示△PAB、△PBC、△PCA、△ABC的面積，α、β、γ依次表示面PAB、面PBC、面PCA與底面ABC所成角的大小，我們猜想將射影定理類比推理到三維空間，其表現(xiàn)形式應(yīng)為S=S₁cosα+S₂cosβ+S₃cosγ，
（2）：類比AB⊥AC，AD⊥BC猜想：在四面體ABCD中，若AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，AE⊥平面BCD，則$\frac{1}{A{E}^{2}}$=$\frac{1}{A{B}^{2}}$+$\frac{1}{A{C}^{2}}$+$\frac{1}{A{D}^{2}}$．
如圖，連接BE交CD于F，連接AF．
∵AB⊥AC，AB⊥AD
∴AB⊥平面ACD．
而AF?平面ACD，∴AB⊥AF．
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴$\frac{1}{A{E}^{2}}$=$\frac{1}{A{B}^{2}}$+$\frac{1}{A{F}^{2}}$．
在Rt△ACD中，AF⊥CD，
∴$\frac{1}{A{F}^{2}}$=$\frac{1}{A{C}^{2}}$+$\frac{1}{A{D}^{2}}$．
∴則$\frac{1}{A{E}^{2}}$=$\frac{1}{A{B}^{2}}$+$\frac{1}{A{C}^{2}}$+$\frac{1}{A{D}^{2}}$，
故猜想成立．

點評 本題考查利用類比推理得到結(jié)論、證明類比結(jié)論時證明過程與其類比對象的證明過程類似或直接轉(zhuǎn)化為類比對象的結(jié)論．