Question

19．若雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F（3，0），過F點(diǎn)的直線l與雙曲線E交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為P（-3，-6），則E的方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{5}$$-\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{4}$$-\frac{{y}^{2}}{5}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{6}$$-\frac{{y}^{2}}{3}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{3}$$-\frac{{y}^{2}}{6}$=1

Answer 1

分析 求出直線l的斜率和方程，代入雙曲線的方程，化簡可得x的二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得a，b的方程組，解得a，b，進(jìn)而得到雙曲線的方程．

解答 解：由題意可得直線l的斜率為k=k_PF=$\frac{0+6}{3+3}$=1，
可得直線l的方程為y=x-3，
代入雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1可得（b²-a²）x²+6a²x-9a²-a²b²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{6{a}^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$，
由AB的中點(diǎn)為P，可得$\frac{6{a}^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$=-6，
即有b²=2a²，
又a²+b²=c²=9，
解得a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{6}$，
則雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運(yùn)用雙曲線的焦點(diǎn)和聯(lián)立方程組，運(yùn)用韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．