Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分別為CD、PB的中點。

（Ⅰ）求證：EF⊥平面PAB；

（Ⅱ）設(shè)AB=BC，求AC與平面AEF所成的角的大小。

Answer 1

圖片比較整齊

本小題主要考查直線與平面垂直、直線與平面所成角的有關(guān)知識，及思維能力和空間想象能力，考查應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力。

方法一：

（Ⅰ）證明：連結(jié)EP，

∵PD⊥底面ABCD,DE在平面ABCD內(nèi)，

∴PD⊥DE，又CE=ED，PD=AD=BC。

∴Rt△BCE≌Rt△PDE。

∴PE=BE。

∵F為PB中點。∴EF⊥PB

由三垂線定理得PA⊥AB，

∴在Rt△PAB中PF=AF，又PE=BE=EA。

∴△EFP≌△EFA。

∴EF⊥FA.                                                      

∵PB、FA為面平PAB內(nèi)的相交直線。

∴EF⊥平面PAB。                                               

（Ⅱ）解：不妨設(shè)BC=1，則AD=PD=1。

AB=,PA=，AC=

∴△PAB為等腰直角三角形，且PB=2，F(xiàn)為其斜邊中點，BF=1，且AF⊥PB。

∵PB與平面AEF內(nèi)兩條相交直線EF、AF都垂直，

∴PB⊥平面AEF.                                                 

連結(jié)BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，則GH⊥平面AEF

∠GAH為AC與平面AEF所成的角。                          

由△EGC∽△BGA可知EC=GB，EG=EB，AG=AC=.

由△EGC∽△EBF可知GH=BF=.

∴sin∠GAH=.

∴AC與平面AEF所成的角為arcsin      

方法二：

以D為坐標(biāo)原點，DA的長為單位，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系. 

（Ⅰ）證明：

設(shè)E（a，0，0）其中a>0，則C（2a，0，0），A（0，1，0）B（2a，1，0），P（0，0，1），F(xiàn)（a，，）.

=（0，，），=（2a，1，-1），=（2a，0，0）。

?=0，∴EF⊥PB.  

?=0，∴EF⊥AB

又PB平面PAB，AB平面PAB，PB∩AB=B.

∴EF⊥平面PAB.       

（Ⅱ）解：由AB=BC，得a=.

可得=（，-1，0），=（，1，-1）

      

異面直線AC、PB所成的角為       

∴?=0,    PB⊥AF.

又PB⊥EF，EF、AF為平面AEF內(nèi)兩條相交直線,

即AC與平面AEF所成的角為arcsin.