Question

7．如圖，在四棱錐A-EFCB中，△AEF為等邊三角形，平面AEF⊥平面EFCB，BC=4，EF=2，四邊形EFCB是高為$\sqrt{3}$的等腰梯形，EF∥BC，O為EF的中點．
（1）求證：AO⊥CF；
（2）求二面角F-AE-B的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AO⊥EF，從而AO⊥平面EFCB，由此能證明AO⊥CF．
（2）取 BC中點D，以O(shè)為原點，OB為x軸，OD為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角F-AE-B的正弦值．

解答 證明：（1）∵在四棱錐A-EFCB中，△AEF為等邊三角形，O為EF的中點，
∴AO⊥EF，
∵平面AEF⊥平面EFCB，平面AEF⊥∩平面EFCB=EF，
∴AO⊥平面EFCB，
∵CF?平面EFCB，
∴AO⊥CF．
解：（2）取 BC中點D，以O(shè)為原點，OB為x軸，OD為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（0，0，$\sqrt{3}$），E（1，0，0），F(xiàn)（-1，0，0），B（2，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{AE}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AB}$=（2，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），
設(shè)平面ABE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=x-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=2x+\sqrt{3}y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-1，1），
平面AEF的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
設(shè)二面角F-AE-B的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
sinθ=$\sqrt{1-（\frac{1}{\sqrt{5}}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴二面角F-AE-B的正弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．