Question

12．某校對高一年級學生寒假參加社區(qū)服務的次數(shù)進行了統(tǒng)計，隨機抽取了M名學生作為樣本，得到這M名學生參加社區(qū)服務的次數(shù)，根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻率分布統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如圖：

分組	頻數(shù)	頻率
[10，15）	20	0.25
[15，20）	50	n
[20，25）	m	p
[25，30）	4	0.05
合計	M	N

（Ⅰ）求表中n，p的值和頻率分布直方圖中a的值，并根據(jù)頻率分布直方圖估計該校高一學生寒假參加社區(qū)服務次數(shù)的中位數(shù)；
（Ⅱ）如果用分層抽樣的方法從樣本服務次數(shù)在[10，15）和[25，30）的人中共抽取6人，再從這6人中選2人，求2人服務次數(shù)都在[10，15）的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用頻率分布表求得M，p、n的值，再利用中位數(shù)的定義求得學生參加社區(qū)服務次數(shù)的中位數(shù)．
（Ⅱ）先求出抽取的服務次數(shù)在[10，15）和[25，30）的人數(shù)，再利用列舉法求得從已抽取的6人中任選兩人的所有可能共有15種，找出其中“2人服務次數(shù)都在[10，15）”的事件A的個數(shù)為10種，從而求得事件A的概率．

解答 解：（Ⅰ）∵20÷M=0.25，∴M=80，∴$n=\frac{50}{80}=0.625$，$p=1-0.25-0.625-0.05=\frac{3}{40}=0.075$，
$a=\frac{n}{5}=\frac{1}{8}=0.125$，
中位數(shù)位于區(qū)間[15，20），設中位數(shù)為（15+x），
則0.125x=0.25，所以x=2，所以學生參加社區(qū)服務次數(shù)的中位數(shù)為17次．
（Ⅱ）由題意知樣本服務次數(shù)在[10，15）有20人，樣本服務次數(shù)在[25，30）有4人．
如果用分層抽樣的方法從樣本服務次數(shù)在[10，15）和[25，30）的人中共抽取6人，
則抽取的服務次數(shù)在[10，15）和[25，30）的人數(shù)分別為：$6×\frac{20}{24}=5$和$6×\frac{4}{24}=1$．
記服務次數(shù)在[10，15）為a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，在[25，30）的為b．
從已抽取的6人中任選兩人的所有可能為：$\begin{array}{l}（{a_1}，{a_2}），（{a_1}，{a_3}），（{a_1}，{a_4}），（{a_1}，{a_5}），（{a_1}，b），（{a_2}，{a_3}），（{a_2}，{a_4}），（{a_2}，{a_5}）（{a_2}，b），（{a_3}，{a_4}），\\（{a_3}，{a_5}），（{a_3}，b），（{a_4}，{a_5}），（{a_4}，b），（{a_5}，b）\end{array}$
共15種．
設“2人服務次數(shù)都在[10，15）”為事件A，則事件A包括：$\begin{array}{l}（{a_1}，{a_2}），（{a_1}，{a_3}），（{a_1}，{a_4}），（{a_1}，{a_5}），（{a_2}，{a_3}），（{a_2}，{a_4}），（{a_2}，{a_5}）（{a_3}，{a_4}），\\（{a_3}，{a_5}），（{a_4}，{a_5}）\end{array}$
共10種，
所以$P（A）=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$．

點評 本題主要考查頻率分布表的應用，古典概率及其計算公式的應用，屬于基礎題．