Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+mlnx（m∈R）．
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線經(jīng)過點（3，3），求m的值；
（2）設(shè)1＜m≤e，H（x）=f（x）-（m+1）x，證明：?x₁，x₂∈[1，m]，恒有H（x₁）-H（x₂）＜1．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由直線的斜率公式計算即可得到m的值；
（2）求得H（x）的解析式和導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)H（x）在[1，m]單減，進而得H（x₁）-H（x₂）≤H（1）-H（m）=$\frac{1}{2}$-（m+1）-$\frac{1}{2}$m²-mlnm+（m+1）m=$\frac{1}{2}$m²-mlnm-$\frac{1}{2}$，轉(zhuǎn)化為求h（m）=$\frac{1}{2}$m-lnm-$\frac{3}{2m}$的最大值問題即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{2}$x²+mlnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=x+$\frac{m}{x}$，
即有在點（1，f（1））處的切線斜率為1+m，
切點為（1，$\frac{1}{2}$），
由1+m=$\frac{3-\frac{1}{2}}{3-1}$，解得m=$\frac{1}{4}$；
（2）證明：H（x）=f（x）-（m+1）x=$\frac{1}{2}$x²+mlnx-（m+1）x，
H′（x）=x+$\frac{m}{x}$-（m+1）=$\frac{（x-1）（x-m）}{x}$，
由x∈[1，m]，H′（x）≤0，
可得H（x）在[1，m]單調(diào)遞減，
于是H（x₁）-H（x₂）≤H（1）-H（m）=$\frac{1}{2}$-（m+1）-$\frac{1}{2}$m²-mlnm+（m+1）m
=$\frac{1}{2}$m²-mlnm-$\frac{1}{2}$，
H（x₁）-H（x₂）＜1?$\frac{1}{2}$m²-mlnm-$\frac{1}{2}$＜1
?$\frac{1}{2}$m-lnm-$\frac{3}{2m}$＜0，
設(shè)h（m）=$\frac{1}{2}$m-lnm-$\frac{3}{2m}$，
則h′（m）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{m}$+$\frac{3}{2{m}^{2}}$=$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{3}$）²+$\frac{1}{3}$＞0，
所以函數(shù)h（m）在[1，e]是單增函數(shù)，
所以h（m）≤h（e）=$\frac{1}{2}$e-1-$\frac{3}{2e}$=$\frac{（e-3）（e+1）}{2e}$＜0，
故?x₁，x₂∈[1，m]，恒有H（x₁）-H（x₂）＜1．

點評 本題主要考查函數(shù)恒成立問題以及函數(shù)解析式的求法，是對函數(shù)以及導(dǎo)函數(shù)知識的綜合考查，屬于中檔題．