已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，過F且斜率為
3
的直線交C于A、B兩點，若
AF
=4
FB
，則雙曲線C的離心率為______．
∵直線AB過點F（c，0），且斜率為
3

∴直線AB的方程為y=
3
（x-c）
與雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1消去x，得（
1
3
b2-a2）y2+
2
3
3
b2cy+b4=0
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
∴y1+y2=
2
3
b2c
3a2-b2
，y1y2=
-3b4
3a2-b2

∵
AF
=4
FB
，可得y1=-4y2
∴代入上式得-3y2=
2
3
b2c
3a2-b2
，-4y22=
-3b4
3a2-b2

消去y2并化簡整理，得
4
3
c2=
3
4
(3a2-b2)
將b2=c2-a2代入化簡，得c2=
36
25
a2，解之得c=
6
5
a
因此，該雙曲線的離心率e=
c
a
=
6
5

故答案為：
6
5

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線與橢圓
x2
27
+
y2
36
=1有相同焦點，且經(jīng)過點（
15
，4）．
（1）求橢圓的焦點坐標及離心率；
（2）求此雙曲線的標準方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

若雙曲線的焦點為F1（-4，0），F(xiàn)2（4，0），實軸長與虛軸長相等，則雙曲線的標準方程為：______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知雙曲線
x2
4
-
y2
9
=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其兩個焦點，點M在雙曲線上，若∠F1MF2=120°，則△F1MF2的面積為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

雙曲線
x2
4
-
y2
k
=1的離心率e∈（1，2），則k的取值范圍是______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

過雙曲線2x2-y2-2=0的右焦點作直線l交曲線于A、B兩點，若|AB|=2則這樣的直線存在（　�。�
A．0條B．1條C．2條D．3條

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±2x，則其離心率為（　�。�
A．5B．
5
2
C．
3
D．
5

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過F1的直線l與C的左、右分支分別交于A，B兩點．若AB：BF2：AF2=3：4：5，則雙曲線的離心率為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

當m∈[-2，-1]時，二次曲線
x2
4
+
y2
m
=1的離心率e的取值范圍是（　�。�
A．[
2
2
，
3
2
]		B．[
3
2
，
5
2
]		C．[
5
2
，
6
2
]		D．[
3
2
，
6
2
]

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