Question

已知直線與拋物線y²=2px（p＞0）交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，1），則p的值為（　�。�

• A．

  5

  2

• B．

  2

  3

• C．

  5

  4

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由直線OD斜率為

1

2

，OD⊥AB，知直線AB方程為2x+y-5=0，代入拋物線方程得y²+py-5p=0，從而得到y(tǒng)₁y₂=-5p，再由OA⊥OB，能求出p．

解答：解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵直線OD斜率為

1

2

，OD⊥AB，∴直線AB斜率為-2，
故直線AB方程為2x+y-5=0…（1）
將（1）代入拋物線方程得y²+py-5p=0，
則y₁y₂=-5p，
∵y12=2px₁，y22=2px₂，
則（y₁y₂）²=4p²x₁x₂，
故x₁x₂=

25

4

，
∵OA⊥OB
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵p＞0，∴p=

5

4

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．