Question

如圖，已知直線與拋物線y²=2px（p＞0）交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，1），求p的值．

Answer 1

【答案】分析：A、B兩點(diǎn)在拋物線y²=2px上，可設(shè)點(diǎn)A（，y₁），B（，y₂），根據(jù)向量、互相垂直，利用數(shù)量積列式，化簡(jiǎn)得．利用經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的斜率公式，得直線AB的斜率為，結(jié)合點(diǎn)斜式方程得到直線AB的方程為，令y=0，化簡(jiǎn)可得x=2p，所以直線AB經(jīng)過(guò)x軸上的定點(diǎn)M（2p，0）．然后根據(jù)OD⊥AB，得到直線AB的斜率為-2，最后結(jié)合D、M的坐標(biāo)，可得，解之得p=．
解答：解：因?yàn)锳、B兩點(diǎn)在拋物線y²=2px上，設(shè)點(diǎn)A（，y₁），B（，y₂）
∵ 
∴=⇒
∵y₁y₂≠0，∴⇒…①
∵直線AB的斜率為
∴直線AB的方程為，
令y=0，得⇒=2px-
∴-y₁y₂=2px…②
將①代入②，得4p²=2px⇒x=2p
所以直線AB經(jīng)過(guò)x軸上的定點(diǎn)M（2p，0）
∵OD⊥AB，OD的斜率為k₁==
∴直線AB的斜率為，
∴結(jié)合D、M的坐標(biāo)，可得，解之得p=．
點(diǎn)評(píng)：本題給出過(guò)原點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，并且已知原點(diǎn)在直線AB上的射影坐標(biāo)，求拋物線的焦參數(shù)值．著重考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、直線與圓錐曲線間的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，屬于難題．