Question

長(zhǎng)度為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A，B分別在x，y軸上移動(dòng)，點(diǎn)P在直線AB上且滿足

BP

=2

PA

（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）記點(diǎn)P的軌跡為曲線C，斜率為1的直線?交曲線C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，線段EF的垂直平分線通過點(diǎn)Q（x₀，0），求△QEF面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）利用

BP

=2

PA

，確定A，B，P坐標(biāo)之間的關(guān)系，由|AB|=3，即可求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)直線?的方程為y=x+b，聯(lián)立橢圓方程，可得

5

4

y2-

b

2

y+

b2-4

4

=0，結(jié)合韋達(dá)定理，基本不等式可得△QEF面積S=

1

2

（y₁+y₂）|y₁-y₂|的最大值．

解答： 解：（1）設(shè)A（m，0），B（0，n），P（x，y）
由

BP

=2

PA

，得x=2（m-x），y-n=2（0-y），
即m=

3

2

x，n=3y，
又由|AB|=

m2+n2

=3得：

x2

4

+y2=1，即為點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）設(shè)直線?的方程為y=x+b，E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
由

y=x+b x2 4 +y2=1

得：

5

4

y2-

b

2

y+

b2-4

4

=0，
則y₁+y₂=

2b

5

，y₁y₂=

b2-4

5

，
則△QEF面積S=

1

2

（y₁+y₂）|y₁-y₂|=

1

2

（y₁+y₂）

(y1+y2)2-4y1y2

=

b

5

4b2 25 - 4(b2-4) 5

=

b

5

16(5-b2) 25

=

4

25

b2(5-b2)

≤

4

25

×

5

2

=

2

5

，
即△QEF面積的最大值為

2

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，綜合性強(qiáng)．