Question

已知雙曲線C的焦點為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），且經過P（2，3）．
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）問是否存在實數m使得直線l：y=mx+1交雙曲線C于A，B兩點，且線段AB的中點落在直線x+2y=0上，若存在求m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用待定系數法，求雙曲線的標準方程；
（2）y=mx+1代入x2-

y2

3

=1，求出線段AB的中點坐標，代入直線x+2y=0，求出m，再驗證．

解答： 解：（1）設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
則

a2+b2=4 4 a2 - 9 b2 =1

∴a=1，b=

3

，
∴雙曲線的標準方程為x2-

y2

3

=1；
（2）y=mx+1代入x2-

y2

3

=1，整理可得（3-m²）x²-2mx-4=0，
∴線段AB的中點坐標為（

m

3-m2

，

3

3-m2

），
代入直線x+2y=0，可得

m

3-m2

+2×

3

3-m2

=0，
∴m=-6，此時△＜0，故不存在．

點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查直線與雙曲線的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，比較基礎．