【題目】已知f(x)=x2+px+q.求證:
(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2;
(2)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個不小于.
【答案】(1)見解析; (2)見解析.
【解析】
(1)根據(jù)函數(shù)f(x)的解析式,分別將x=1,2,3代入求得f(1),f(3),f(2),進而求得f(1)+f(3)﹣2f(2);
(1)“至少有一個不小于”的反面情況較簡單,比較方便證明,故從反面進行證明,用反證法.
證明:(1)f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2×(4+2p+q)=2.
(2)假設(shè)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于,
則|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2.
而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2,
這與|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2相矛盾,
從而假設(shè)不成立,故原命題成立.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比,收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱,測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg),其頻率分布直方圖如下:
(Ⅰ)記A表示時間“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”,估計A的概率;
(Ⅱ)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān):
箱產(chǎn)量<50kg | 箱產(chǎn)量≥50kg | |
舊養(yǎng)殖法 | ||
新養(yǎng)殖法 |
(Ⅲ)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,對兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進行比較.
附:
P(K2≥K) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
K | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
K2= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件,并測量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗,可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2).(12分)
(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù),求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望;
(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件,就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.
(。┰囌f明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性;
(ⅱ)下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸:
9.95 | 10.12 | 9.96 | 9.96 | 10.01 | 9.92 | 9.98 | 10.04 |
10.26 | 9.91 | 10.13 | 10.02 | 9.22 | 10.04 | 10.05 | 9.95 |
經(jīng)計算得 = =9.97,s= = ≈0.212,其中xi為抽取的第i個零件的尺寸,i=1,2,…,16.
用樣本平均數(shù) 作為μ的估計值 ,用樣本標準差s作為σ的估計值 ,利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查?剔除( ﹣3 +3 )之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計μ和σ(精確到0.01).
附:若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ﹣3σ<Z<μ+3σ)=0.9974,0.997416≈0.9592, ≈0.09.
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【題目】設(shè)A,B是橢圓C: + =1長軸的兩個端點,若C上存在點M滿足∠AMB=120°,則m的取值范圍是( )
A.(0,1]∪[9,+∞)
B.(0, ]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞)
D.(0, ]∪[4,+∞)
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【題目】在直角坐標系中,已知圓圓心為,過點且斜率為的直線與圓相交于不同的兩點、.
()求的取值范圍;
()是否存在常數(shù),使得向量與共線?如果存在,求值;如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn),任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上,這條直線稱為歐拉線已知的頂點,若其歐拉線的方程為,則頂點的坐標為( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖,在三棱柱中,底面為正三角形,側(cè)棱底面.已知是 的中點,.
(1)求證:平面平面;
(2)求證:A1C∥平面;
(3)求三棱錐的體積.
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【題目】在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為ρcosθ=4.
(Ⅰ)M為曲線C1上的動點,點P在線段OM上,且滿足|OM||OP|=16,求點P的軌跡C2的直角坐標方程;
(Ⅱ)設(shè)點A的極坐標為(2, ),點B在曲線C2上,求△OAB面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量 =(2sinx, cosx), =(﹣sinx,2sinx),函數(shù)f(x)= .
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0, ]的最值及所對應(yīng)的x值.
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