Question

給出下列命題：①?x∈R，且x≠0，x+

1

x

≥2；②?x∈R，x²+1≤2x；③若x＞0，y＞0，則

x2+y2 2

≥

2xy

x+y

．其中所有真命題的序號(hào)是

②③

．

Answer 1

分析：①令x=-1，可得x+

1

x

＜0，從而進(jìn)行判斷；
②?x∈R，x²+1≤2x，對(duì)其進(jìn)行移項(xiàng)，配方，再進(jìn)行判斷；
③根據(jù)均值不等式：

a2+b2 2

≥

a+b

2

≥

ab

≥

2

1 a + 1 b

（a，b＞0）進(jìn)行判斷；

解答：解：①令x=-1，可得x+

1

x

=-1-1=-2≤2，故①錯(cuò)誤；
②?x∈R，x²+1≤2x，∴（x-1）²≤0，令x=1，可得0≤0，故②正確；
③∵x＞0，y＞0，由已知均值不等式：

a2+b2 2

≥

a+b

2

≥

ab

≥

2

1 a + 1 b

（a，b＞0），
∴

x2+y2 2

≥

2xy

x+y

=

2

1 x + 1 y

，故③正確
故答案為：②③；

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查均值不等式的性質(zhì)，注意x+

1

x

≥2要求x，y＞0，不能忘記條件，這是同學(xué)們?nèi)菀壮鲥e(cuò)的地方，此題是一道基礎(chǔ)題．