Question

橢圓E的中心在原點O，焦點在x軸上，離心率，過點C（-1，0）的直線l交橢圓于A、B兩點，且滿足：（λ≥2）．
（1）若λ為常數(shù)，試用直線l的斜率k（k≠0）表示三角形OAB的面積；
（2）若λ為常數(shù)，當三角形OAB的面積取得最大值時，求橢圓E的方程；
（3）若λ變化，且λ=k²+1，試問：實數(shù)λ和直線l的斜率k（k∈R）分別為何值時，橢圓E的短半軸長取得最大值？并求出此時的橢圓方程．

Answer 1

解：設(shè)橢圓方程為：（a＞b＞0），
由及a²=b²+c²得a²=3b²，
故橢圓方程為x²+3y²=3b²①
（1）∵直線L：y=k（x+1）交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，
并且（λ≥2）
∴（x₁+1，y₁）=λ（-1-x₂，-y₂），
即②
把y=k（x+1）代入橢圓方程，
得：（3k²+1）x²+6k²x+3k²-3b²=0，且△=k²（3b²-1）+b²＞0，
∴③④
∴
聯(lián)立②、③得：
∴
（2）
當且僅當即時，S_△OAB取得最大值．
此時x₁+x₂=-1，
又∵x₁+1=-λ（x₂+1），
∴，代入④得：
故此時橢圓的方程為
（3）由②．③聯(lián)立得：，，將x₁．x₂代入④得：，
由k²=λ-1
得：
易知：當λ≥2時，3b²是λ的減函數(shù)，
故當λ=2時，（3b²）_max=3．
故當λ=2，
k=±1時，橢圓短半軸長取得最大值，此時橢圓方程為x²+3y²=3．
分析：（1）先設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)離心率求得a和c的關(guān)系式，進而根據(jù)a²=b²+c²得a和b的關(guān)系，根據(jù)直線L與橢圓相交，且，進而求得（x₁+1，y₁）=λ（-1-x₂，-y₂），聯(lián)立方程組，把y=k（x+1）代入橢圓方程整理后表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而利用弦長公式表示出三角形OAB的面積，聯(lián)立方程求得三角形OAB的面積．
（2）根據(jù)（1）中的三角形OAB的面積，利用基本不等式求得求得面積最小，推斷出此時x₁+x₂=-1，進而求得b和λ的關(guān)系，代入橢圓方程求得，橢圓的標準方程．
（3）把（1）中的方程②③聯(lián)立求得x₁和x₂的表達式，然后代入方程④中，整理求得k和λ的關(guān)系式，利用基本不等式求得橢圓短半軸長取得最大值時，k的值，則橢圓的方程可得．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生對問題的綜合分析和基本的運算能力．