Question

19．如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，SD⊥面ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，SC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面SAD；
（2）設(shè)SD=2DA，求二面角A-EF-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取SD的中點(diǎn)G，連結(jié)GF，GA，推導(dǎo)出AEFG是平行四邊形，從而EF∥AG，由此能證明EF∥平面SAD．
（2）取AG，EF的中點(diǎn)分別為M，N，連結(jié)DM，MN，DN，推導(dǎo)出DM⊥AG，SD⊥AB，AB⊥AD，從而AB⊥平面SAD，推導(dǎo)出∠MND是二面角A-EF-D的平面角，由此能出二面角A-EF-D的余弦值．

解答 證明：（1）如圖，取SD的中點(diǎn)G，連結(jié)GF，GA，
∵G，F(xiàn)分別是SD、SC的中點(diǎn)，∴GF∥DC，且GF=$\frac{1}{2}DC$
又底面ABCD為正方形，且E是AB的中點(diǎn)，
∴AE∥DC，且AE=$\frac{1}{2}DC$，
∴AE∥GF，且AE=GF，∴AEFG是平行四邊形，∴EF∥AG，
又EF?平面SAD，AG?平面SAD，
∴EF∥平面SAD．
解：（2）取AG，EF的中點(diǎn)分別為M，N，連結(jié)DM，MN，DN，
∵SD=2DA=2DG，又M是AG的中點(diǎn)，∴DM⊥AG，
又∵SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AB，
由底面ABCD是正方形，得AB⊥AD，
∵SD∩AD=D，∴AB⊥平面SAD，
又M，N分別為AG、EF的中點(diǎn)，∴MN∥AB，∴MN⊥平面SD，
又AG?平面SAD，∴MN⊥AG，
∵DM∩MN=M，∴AG⊥平面MND，
又由（1）知EF∥AG，故EF⊥平面MND，
∴∠MND是二面角A-EF-D的平面角，
設(shè)DA=2，由SD=2DA=2DG，得DG=2，DM=$\sqrt{2}$，MN=$\frac{1}{2}AB=1$，
又MN⊥平面SAD，DM?平面SAD，得MN⊥DM，∴DN=$\sqrt{3}$，
∴cos$∠MND=\frac{MN}{DN}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴二面角A-EF-D的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．