Question

15．已知f（x）=ax⁴+bx²+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1），且在x=1處的切線方程是y=x-2
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b，c的值；
（Ⅱ）求y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的切線方程，得到關(guān)于a，b，c的方程，解出即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=ax⁴+bx²+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，1），則c=1，
f′（x）=4ax³+2bx，k=f′（1）=4a+2b=1，
切點(diǎn)為（1，-1），則f（x）=ax⁴+bx²+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，-1）
得$a+b+c=-1，得a=\frac{5}{2}，b=-\frac{9}{2}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：$f（x）=\frac{5}{2}{x^4}-\frac{9}{2}{x^2}+1$，
令${f^'}（x）=10{x^3}-9x＞0，\;\;⇒-\frac{{3\sqrt{10}}}{10}＜x＜0，或x＞\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為$（-\frac{{3\sqrt{10}}}{10}，0）$和$（\frac{{3\sqrt{10}}}{10}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．