Question

已知拋物線，點(diǎn)，過的直線交拋物線于兩點(diǎn).

（1）若，拋物線的焦點(diǎn)與中點(diǎn)的連線垂直于軸，求直線的方程；

（2）設(shè)為小于零的常數(shù)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，求證：直線過定點(diǎn)

 

Answer 1

（1）；（2）參考解析

【解析】

試題分析：（1）由題意可得通過假設(shè)直線方程聯(lián)立拋物線方程，消去y可得一個(gè)一元二次方程，通過韋達(dá)定理寫出根與系數(shù)的關(guān)系.由中點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)可解出直線的斜率k的值.即可求出直線方程.

（2）由直線方程與拋物線的方程聯(lián)立可得，關(guān)于點(diǎn)A,B的坐標(biāo)關(guān)系，從而得到的坐標(biāo)，寫出直線B的方程.由于其中含有A,B的坐標(biāo)值，通過整理成為的形式即可知道，直線恒過定點(diǎn).

試題解析：（1）【解析】
由已知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.

設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為，

由 得.

設(shè)，，則.

因?yàn)?/span>與中點(diǎn)的連線垂直于軸，所以，即.

解得 ，.

所以，直線的方程為.

（2）證明：設(shè)直線的方程為.

由 得，

則，且，即，且.

.

因?yàn)?/span>關(guān)于軸對(duì)稱，所以，直線，

又 ，，所以，

所以 .

因?yàn)?，又同號(hào)，，

所以 ，

所以直線的方程為，

所以，直線恒過定點(diǎn).

考點(diǎn)：1.直線與拋物線的關(guān)系.2.對(duì)稱性的問題.3.解方程的能力.4.過定點(diǎn)的問題.