Question

13．函數(shù)$f（x）=\sqrt{|{x+1}|+|{x+2}|-a}$．
（Ⅰ）若a=5，求函數(shù)f（x）的定義域A；
（Ⅱ）設(shè)a，b∈（-1，1），證明$\frac{|a+b|}{2}＜|1+\frac{ab}{4}|$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若a=5，則|x+1|+|x+2|-5≥0，解絕對值不等式即可得到函數(shù)f（x）的定義域A；
（Ⅱ）要證明$\frac{|a+b|}{2}＜|1+\frac{ab}{4}|$，即證2|a+b|＜|4+ab|，進(jìn)一步作差比較，則可得到要證明的結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：若a=5，則|x+1|+|x+2|-5≥0，
得A={x|x≤-4或x≥1}；
（Ⅱ）證明：∵$\frac{|a+b|}{2}＜|1+\frac{ab}{4}|?2|a+b|＜|4+ab|$，
而4（a+b）²-（4+ab）²=4（a²+2ab+b²）-（16+8ab+a²b²）
=4a²+4b²-a²b²-16=a²（4-b²）+4（b²-4）=（b²-4）（4-a²）．
∵a，b∈（-1，1），∴（b²-4）（4-a²）＜0．
∴4（a+b）²＜（4+ab）²．
∴$\frac{|a+b|}{2}＜|1+\frac{ab}{4}|$．

點評 本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，考查了不等式的證明，是基礎(chǔ)題．