Question

8．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，E為DD₁的中點，
（1）求證：BD₁∥平面ACE；
（2）求△ACE的面積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD，令BD∩AC=F，連結(jié)EF，則EF∥BD₁，由此能證明BD₁∥平面ACE．
（2）由已知分別求出AF=$\sqrt{2}$，AE=$\sqrt{5}$，EF=$\sqrt{3}$，由此能求出△ACE的面積．

解答 證明：（1）連結(jié)BD，令BD∩AC=F，連結(jié)EF．（2分）
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，F(xiàn)是DB的中點，又E是DD₁的中點，
∴EF∥BD₁（4分）
又EF?平面ACE，BD₁?平面ACE，
∴BD₁∥平面ACE．（6分）
（2）在正方形ABCD中，AB=2，AC=2$\sqrt{2}$，∴AF=$\sqrt{2}$，（8分）
在直角△ADE中，AD=2，DE=1，∴AE=$\sqrt{5}$，
在Rt△EAF中，EF=$\sqrt{E{A^2}-A{F^2}}$=$\sqrt{5-2}$=$\sqrt{3}$，（10分）
∴${S_{△ACE}}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$．（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查三角形面積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．