Question

17．對于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，則稱函數(shù)f（x）為“同域函數(shù)”，區(qū)間A為函數(shù)f（x）的一個“同域區(qū)間”．給出下列四個函數(shù)：
①f（x）=cos$\frac{π}{2}$x；
②f（x）=x²-1；
③f（x）=|2^x-1|；
④f（x）=log₂（x-1）．
存在“同域區(qū)間”的“同域函數(shù)”的序號是②③（請寫出所有正確結論的序號）．

Answer 1

分析 由“同域函數(shù)”及“同域區(qū)間”的定義可看出，當方程f（x）=x至少有兩個不同解時，函數(shù)f（x）存在“同域區(qū)間”，并且該函數(shù)為“同域函數(shù)”，從而根據(jù)函數(shù)y=f（x）和y=x的交點情況或直接解方程f（x）=x即可判斷方程f（x）=x解的情況，從而判斷函數(shù)f（x）是否為“同域函數(shù)”．

解答 解：根據(jù)題意知，同域函數(shù)y=f（x）滿足方程f（x）=x至少有兩個不同解；
①函數(shù)f（x）=$cos\frac{π}{2}x$和y=x的圖象只一個交點，∴方程$cos\frac{π}{2}x=x$只一個解；
∴該函數(shù)不是“同域函數(shù)”；
②由x²-1=x得，x²-x-1=0，△=1+4＞0；
∴該方程有兩個不同實數(shù)根；
∴該函數(shù)是“同域函數(shù)”；
③解|2^x-1|=x得，x=0，或1；
∴該函數(shù)為“同域函數(shù)”；
④方程log₂（x-1）=x無解；
∴該函數(shù)不是“同域函數(shù)”；
∴存在“同域區(qū)間”的“同域函數(shù)”的序號是②③．
故答案為：②③．

點評 考查對“同域區(qū)間”和“同域函數(shù)”的理解，能得出判斷方程f（x）=x是否至少有兩個不同解，從而判斷函數(shù)f（x）是否為“同域函數(shù)”是解決本題的關鍵，函數(shù)圖象的平移，通過函數(shù)圖象的交點情況判斷方程解的情況的方法，以及根據(jù)判別式的符號判斷一元二次方程解的情況的方法．