Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為4$\sqrt{3}$，且橢圓C過點(diǎn)（2$\sqrt{3}$，1）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為B，如果直線y=kx+1（k≠0）交橢圓C于不同的兩點(diǎn)E、F，且B，E，F(xiàn)構(gòu)成以EF為底邊，B為頂點(diǎn)的等腰三角形，判斷直線EF與圓x²+y²=$\frac{1}{2}$的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （I）由題可知c=2$\sqrt{3}$，又a²-b²=c²，將點(diǎn)（2$\sqrt{3}$，1）代入橢圓方程，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（II）設(shè)交點(diǎn)為E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），EF的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x_M，y_M），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得M的坐標(biāo)，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得直線EF的方程，再求圓心到直線的距離，與班級比較，即可得到所求位置關(guān)系．

解答 解：（I）由題可知c=2$\sqrt{3}$，a²-b²=c²，
將點(diǎn)（2$\sqrt{3}$，1）代入橢圓方程可得$\frac{12}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1，解得a=4，b=2，
則橢圓C方程是$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；                  
（II）設(shè)交點(diǎn)為E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），EF的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x_M，y_M），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=16}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kx-12=0，
由題可知△=64k²-4（1+4k²）（-12）＞0恒成立，
x₁+x₂=-$\frac{8k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，
可得x_M=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$，y_M=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=1+$\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}）}{2}$=$\frac{1}{1+4{k}^{2}}$，
因?yàn)椤鰾EF是以EF為底邊，B為頂點(diǎn)的等腰角形，所以EF⊥BM．
因此BM的斜率k_BM=-$\frac{1}{k}$，又點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-2），
所以kBM=$\frac{{y}_{M}+2}{{x}_{M}-0}$=-$\frac{3+8{k}^{2}}{4k}$，即-$\frac{3+8{k}^{2}}{4k}$=-$\frac{1}{k}$，
解得k=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$，故EF的直線方程為±$\sqrt{2}$x-4y+4=0，
又因?yàn)閳Ax²+y²=$\frac{1}{2}$的圓心（0，0）到直線EF的距離d=$\frac{4}{\sqrt{18}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以直線EF與圓x²+y²=$\frac{1}{2}$相離．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的焦距和點(diǎn)滿足橢圓方程，考查直線和圓的位置關(guān)系的判斷，注意運(yùn)用圓心到直線的距離和半徑的關(guān)系，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．