Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，已知f（0）=1，f（x）=f（3-x），且函數(shù)f（x）的圖象與直線x+y=0有且只有一個(gè)交點(diǎn)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，若函數(shù)g(x)=

f(lnx)+k-1

lnx

在區(qū)間[e，e²]上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題目給出的f（0）=1，求出c的值，運(yùn)用f（x）=f（3-x），求出函數(shù)對(duì)稱軸，用函數(shù)f（x）的圖象與直線x+y=0有且只有一個(gè)交點(diǎn)聯(lián)立后由判別式等于0列式，最后聯(lián)立方程組求得a、b的值，則解析式可求；
（2）把f（x）代入函數(shù)g（x），求導(dǎo)函數(shù)后讓導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[e，e²]上恒大于0或恒小于0求解實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1，得c=1，所以f（x）=ax²+bx+1，
又f（x）=f（3-x），所以二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=

3

2

，即-

b

2a

=

3

2

   ①
又函數(shù)f（x）的圖象與直線x+y=0有且只有一個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立

x+y=0 ax2+bx+1=y

得：ax²+（b+1）x+1=0
所以（b+1）²-4a=0    ②
解①②得：a=1，b=-3或a=

1

9

，b=-

1

3

所以f（x）=x²-3x+1，或f（x）=

1

9

x2-

1

3

x+1
（2）當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，f（x）=x²-3x+1，
g（x）=

(lnx)2-3lnx+1+k-1

lnx

=lnx+

k

lnx

-3，
g′(x)=

1

x

-

k

x•ln2x

=(1-

k

ln2x

)×

1

x

，
因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋?，+∞）所以要使函數(shù)g（x）在區(qū)間[e，e²]上是單調(diào)函數(shù)，
所以需要1-

k

ln2x

≤0或1-

k

ln2x

≥0在[e，e²]上恒成立，
解得k≥4或k≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時(shí)所取的條件．