Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱長(zhǎng)均為2，M為AA₁中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線BM和C₁N所成角的余弦值；
（2）一只小蟲(chóng)沿著棱柱的側(cè)面爬行，若它從棱柱的側(cè)面ABB₁A₁內(nèi)的點(diǎn)M開(kāi)始爬行，途經(jīng)側(cè)棱BB₁，再到達(dá)側(cè)面BCC₁B₁內(nèi)的點(diǎn)N，那么這只小蟲(chóng)爬行的最短距離是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）取B₁C₁的中點(diǎn)P，連接BP，A₁P，MP，可證得BP∥C₁N，則∠PBM即為直線BM和C₁N所成角，解三角形PBM，可得異面直線BM和C₁N所成角的余弦值；
（2）沒(méi)棱BB₁將棱柱的側(cè)面展開(kāi)，將空間線段和最小轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)之間的距離最短問(wèn)題，根據(jù)已知代入勾股定理可得答案．
解答：解：（1）取B₁C₁的中點(diǎn)P，連接BP，A₁P，MP
由于N也是BC的中點(diǎn)，故BN∥PC₁，且BN=PC₁，
即四邊形PC₁NB為平行四邊形，
∴BP∥C₁N
故∠PBM即為直線BM和C₁N所成角
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱長(zhǎng)均為2，M為AA₁中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)
∴在△PBM中，BM==，
BP==，
PM==2
故cos∠PBM==
（2）沒(méi)棱BB₁將棱柱的側(cè)面展開(kāi)，如下圖所示

由圖可知，小蟲(chóng)爬行的最短距離為==
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是多面體表面上的最短距離問(wèn)題，異面直線及其所成的角，熟練掌握求異面直線夾角的方法（將異面直線夾角轉(zhuǎn)化為相交直線夾角）及求多面體表面上的最短距離（將空間線段和最小轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)之間的距離最短）中包含的轉(zhuǎn)化思想是解答的關(guān)鍵．