Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2 ，BC=4 ，PA=2，點M在PD上．

（1）求證：AB⊥PC
（2）若二面角M﹣AC﹣D的大小為45°，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，設E為BC的中點，連結AE，

則AD=EC，AD∥EC，AD∥EC，所以四邊形AECD為平行四邊形，

故AE⊥BC，又AE=BE=EC=2 ，

所以∠ABC=∠ACB=45°，故AB⊥AC，

又因為PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，

且PA∩AC=A，所以AB⊥平面PAC，故有AB⊥PC．

（2）解：如圖，以A為原點，分別以射線AE、AD、AP為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標系A﹣xyz．

則A（0，0，0），E（2 ，0，0），B（2 ，﹣2 ，0），C（2 ，2 ，0），D（0，2 ，0），P（0，0，2），

設 =λ =（0，2 ，﹣2λ），（0≤λ≤1），解得M（0，2 ，2﹣2λ）

設平面AMC的一個法向量為 =（x，y，z），

則 ，

令y= ，得 ，即

又平面ACD的一個法向量為 ，

由題知 = ，

解得 ．

∴ 的值為

【解析】（1）設E為BC的中點，連結AE，推導出四邊形AECD為平行四邊形，AB⊥AC，AB⊥PA，由此能證明AB⊥PC．（2）以A為原點，分別以射線AE、AD、AP為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標系A﹣xyz．利用向量法能求出 的值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點．