Question

11．已知命題p：曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{k}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{2k+8}$=1表示焦點在x軸上的橢圓，命題q：（k-1）x²+（k-5）y²=1表示雙曲線，若p或q為真，p且q為假，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 求出命題p、命題q為真時k的取值范圍，再利用p、q一真一假求解k的取值范圍．

解答 解：∵命題p：曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{k}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{2k+8}$=1表示焦點在x軸上的橢圓，
∴k²＞2k+8＞0，
解得k＞4或-4＜k＜-2．
∵命題q：（k-1）x²+（k-5）y²=1表示雙曲線．
∴（k-1）（k-5）＜0，
解得，1＜k＜5
∵命題p或q為真命題，命題p且q為假命題
∴p、q必然一真一假．
①當(dāng)p真q假時，則$\left\{\begin{array}{l}{k＞4或-4＜k＜-2}\\{k≤1或k≥5}\end{array}\right.$，解得k≥5或-4＜k＜-2；
②當(dāng)p假q真時，則$\left\{\begin{array}{l}{k≤-4或-2≤k≤4}\\{1＜k＜5}\end{array}\right.$，解得1＜k≤4；
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為（-4，-2）∪（1，4]∪[5，+∞）．

點評 本題考查的知識點是復(fù)合命題的真假判定，解決的辦法是先判斷組成復(fù)合命題的簡單命題的真假，再根據(jù)真值表進行判斷．