Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$-$\frac{m}{x}$（其中m為實(shí)數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（1）若f（x）在x=2處取得極值，求f（x）在x=1處的切線方程；
（2）若x∈（0，+∞）時(shí)方程f（x）=0有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，代入f′（2）=0，求出m的值，從而求出切線方程即可；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=e^x和y=mx在（0，+∞）有交點(diǎn)，通過(guò)討論m的范圍，結(jié)合曲線的切線方程求出m的具體范圍即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$-$\frac{m}{x}$，f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-2）}{{x}^{3}}$+$\frac{m}{{x}^{2}}$，
若f（x）在x=2處取得極值，則f′（2）=$\frac{m}{4}$=0，
解得：m=0，
∴f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-2）}{{x}^{3}}$，
f（1）=e，f′（1）=-e，
故切線方程是：y-e=-e（x-1），即：ex+y-2e=0；
（2）若x∈（0，+∞）時(shí)方程f（x）=0有實(shí)數(shù)根，
即方程e^x=mx在（0，+∞）有實(shí)數(shù)根，
即y=e^x和y=mx在（0，+∞）有交點(diǎn)，
顯然m≤0時(shí)，無(wú)交點(diǎn)，
m＞0時(shí)，若y=e^x和y=mx相切，設(shè)切點(diǎn)是（x₀，${e}^{{x}_{0}}$），
故切線的斜率m=k=${e}^{{x}_{0}}$，
則得到${e}^{{x}_{0}}$=${e}^{{x}_{0}}$x₀，解得：x₀=1，
∴m=k=${e}^{{x}_{0}}$=e，
故m≥e．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問(wèn)題，考查函數(shù)的極值以及函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，是一道中檔題．