Question

已知關(guān)于x，y的二元一次不等式組

x+2y≤4 x-y≤1 x+2≥0

．
（1）求函數(shù)u=3x-y的最大值和最小值；
（2）求函數(shù)z=x+2y+2的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用u的幾何意義即可求函數(shù)u=3x-y的最大值和最小值；
（2）作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義即可求函數(shù)z=x+2y+2的最大值和最小值．

解答： 解：（1）作出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示：

由u=3x-y，得y=3x-u，得到斜率為3，在y軸上的截距為-u，隨u變化的一組平行線，
由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域上的C點(diǎn)時(shí)，截距-u最大，即u最小，
解方程組

x+2y=4 x+2=0

得C（-2，3），
∴u_min=3×（-2）-3=-9．
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域上的B點(diǎn)時(shí)，截距-u最小，即u最大，
解方程組

x+2y=4 x-y=1

得B（2，1），
∴u_max=3×2-1=5．
∴u=3x-y的最大值是5，最小值是-9．
（2）作出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示．

由z=x+2y+2，得y=-

1

2

x+

1

2

z-1，得到斜率為-

1

2

，在y軸上的截距為

1

2

z-1，隨z變化的一組平行線，
由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域上的A點(diǎn)時(shí)，截距

1

2

z-1最小，即z最小，
解方程組

x-y=1 x+2=0

得A（-2，-3），
∴z_min=-2+2×（-3）+2=-6．
當(dāng)直線與直線x+2y=4重合時(shí)，截距

1

2

 z-1最大，
即z最大，
∴z_max=4+2=6．
∴z=x+2y+2的最大值是6，最小值是-6．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．