Question

若數(shù)列{a_n}的相鄰兩項a_n，a_n+1是關于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0，（n∈N^*）的兩根，且a₁=1．
（1）求證：數(shù)列{an-

1

3

×2n}是等比數(shù)列．
（2）設是S_n數(shù)列{a_n}的前n項和，問是否存在常數(shù)λ，使得b_n-λS_n＞0對任意n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列的應用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意，可利用根與系數(shù)的關系得出a_n+a_n+1=2ⁿ，觀察發(fā)現(xiàn)a_n+1-

1

3

×2n+1=-（a_n-

1

3

×2n），由此方程可以得出數(shù)列{an-

1

3

×2n}是等比數(shù)列；
λ＜

1

6

(2n+1+1)，對任意正偶數(shù)n都成立，求出

1

6

(2n+1+1)，的最小值即可得到參數(shù)的取值范圍，若此范圍是空集則說明不存在，否則，存在．

解答： 解：（1）∵a_n+a_n+1=2ⁿ，
∴a_n+1-

1

3

•2ⁿ⁺¹
=（2ⁿ-a_n）-

1

3

•2ⁿ⁺¹
=-a_n+2ⁿ（1-

2

3

）
=-（a_n-

1

3

×2n），
∴數(shù)列{an-

1

3

×2n}是首項為a₁-

2

3

=

1

3

，公比為-1的等比數(shù)列．
（2）由（1）得a_n=

1

3

[2ⁿ-（-1）ⁿ]，
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n
=

1

3

[（2+2²+…+2ⁿ）-（（-1）+（-1）²+…+（-1）ⁿ）]
=

1

3

[

2(1-2n)

1-2

-

(-1)(1-(-1)n)

1+1

]
=

1

3

[2ⁿ⁺¹-2-

-1+(-1)n

2

]
=

2n+1 3 - 2 3 n偶 2n+1 3 - 1 3 n奇

又b_n=a_n•a_n+1=

1

9

[2ⁿ-（-1）ⁿ][2ⁿ⁺¹-（-1）ⁿ⁺¹]
=

1

9

[2ⁿ⁺¹-（-2）ⁿ-1]
∵b_n-λs_n＞0，
∴

1

9

[2ⁿ⁺¹-（-2）ⁿ-1]-λ

1

3

[2ⁿ⁺¹-2-

-1+(-1)n

2

]＞0，
∴當n為奇數(shù)時，

1

9

[2ⁿ⁺¹-（-2）ⁿ-1]-λ（

2n+1

3

-

1

3

）＞0，
∴λ＜

1

3

（2ⁿ+1）對?n∈{奇數(shù)}都成立，
∴λ＜1；
當n為偶數(shù)時，

1

9

[2ⁿ⁺¹-（-2）ⁿ-1]-λ（

2n+1

3

-

2

3

）＞0，
∴λ＜

1

6

（2ⁿ⁺¹+1）對?n∈{偶數(shù)}都成立，
∴λ＜

3

2

，
綜上所述，λ的取值范圍為λ＜1．

點評：本是考查數(shù)列與不等式的綜合，此類題一般難度較大，解題的關鍵是熟練掌握不等式證明的技巧與數(shù)列通項求和的技巧，本題中用構造法求數(shù)列的通項，是遞推關系知道的情況下求數(shù)列通項的常用方法，對于不等式恒成立求參數(shù)的問題，本題采用了分離常數(shù)法的思想將參數(shù)獨立出來，通過求關于n的代數(shù)式的最小值求出參數(shù)的取值范圍，本題考查了轉化化歸的思想，方程的思想，構造法的技巧，綜合性強，技巧性強，題后應注意總結本題解法上的規(guī)律．