Question

設(shè)f（x）=xlnx，g（x）=x²-1．
（1）令h（x）=f（x）-g（x），求h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當x≥1時，f（x）-mg（x）≤0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,壓軸題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由題意h（x）=xlnx-x²+1，二階求導以確定導數(shù)的正負，從而求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）令F（x）=xlnx-m（x²-1），對其二階求導以確定導數(shù)的正負，從而求函數(shù)的最值，將恒成立問題化為最值問題，從而求解．

解答： 解：（1）h（x）=xlnx-x²+1
h′（x）=lnx+1-2x
令t（x）=lnx+1-2x    t′（x）=

1

x

-2=

1-2x

x

∴t（x）在（0，

1

2

）上單調(diào)遞增，在（

1

2

，+∞）上單調(diào)遞減，
∴t（x）≤t（

1

2

）=-ln2＜0，
即h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
（2）令F（x）=xlnx-m（x²-1），
則F′（x）=lnx+1-2mx，
令G（x）=lnx+1-2mx，
則G′（x）=

1

x

-2m，
①當m≥

1

2

時，
∵x≥1，∴

1

x

≤1，
∴

1

x

-2m≤0，即G′（x）≤0；
∴G（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴G（x）≤G（1）=1-2m≤0，
即F′（x）≤0，
∴F（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴F（x）≤F（1）=0，
∴f（x）-mg（x）≤0，
∴m≥

1

2

符合題意；
②當m≤0時，顯然有F′（x）=lnx+1-2mx≥0，
∴F（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴F（x）＞F（1）=0，
即f（x）-mg（x）＞0，不符合題意；
③當0＜m＜

1

2

時，
令G′（x）=

1

x

-2m＞0解得：1＜x＜

1

2m

，
G′（x）=

1

x

-2m＜0解得：x＞

1

2m

；
∴G（x）在[1，

1

2m

]上單調(diào)遞增，
∴G（x）≥G（1）=1-2m＞0，即F′（x）＞0；
∴F（x）在[1，

1

2m

]上單調(diào)遞增；
∴當x∈（0，

1

2m

）時，F(xiàn)（x）＞F（0）=0，
即f（x）-mg（x）＞0，不符合題意；
綜合①②③可知，m≥

1

2

符合題意，
∴m的取值范圍是[

1

2

，+∞）．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用，難在二階求導以判斷函數(shù)的單調(diào)性與最值，同時考查了恒成立問題化成最值問題的處理方法，屬于難題．