Question

18．已知函數(shù)f（x）=sin2xcos$\frac{3π}{5}-cos2xsin\frac{3π}{5}$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和對(duì)稱軸的方程；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上的最小值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)差角公式化簡(jiǎn)f（x），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出對(duì)稱軸和周期；
（II）根據(jù)x的范圍得出2x-$\frac{3}{5}$的范圍，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得出f（x）的最小值．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=sin2xcos\frac{3π}{5}-cos2xsin\frac{3π}{5}=sin（2x-\frac{3π}{5}）$．
所以f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$，
令2x-$\frac{3π}{5}$=$\frac{π}{2}$+kπ，解得x=$\frac{11π}{20}$+$\frac{1}{2}$kπ．
所以f（x）的對(duì)稱軸方程為x=$\frac{11π}{20}$+$\frac{1}{2}$kπ，k∈Z．
（Ⅱ）因?yàn)?x∈[0，\frac{π}{2}]$，
所以2x∈[0，π]，
所以$2x-\frac{3π}{5}∈[-\frac{3π}{5}，\frac{2π}{5}]$
所以，當(dāng)$2x-\frac{3π}{5}=-\frac{π}{2}$即$x=\frac{π}{20}$時(shí)，f（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上的最小值為-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．