已知數(shù)列{an}中，數(shù)學(xué)公式，數(shù)學(xué)公式．計(jì)算a2，a3，a4的值，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想an的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

解：根據(jù)已知，，
猜測．…（3分）
證明：①當(dāng)n=1時，由已知，左邊=，右邊=，猜想成立．…（4分）
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*）時猜想成立，即，…（5分）
那么，，…（7分）
所以，當(dāng)n=k+1時，猜想也成立．
根據(jù)①和②，可知猜想對于任何n∈N*都成立．…（8分）
分析：由題意可得 ，又a1，可求得a2，再由a2的值求 a3，再由a3 的值求出a4的值．猜想 ，檢驗(yàn)n=1時等式成立，假設(shè)n=k時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的遞推公式，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立．證明當(dāng)n=k+1時命題也成立，是解題的難點(diǎn)．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)，則
lim
n→∞
an=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=
an
1+2an
，則{an}的通項(xiàng)公式an=
1
2n-1
1
2n-1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{
2n
an
}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=
1
2
，Sn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且Sn與
1
an
的一個等比中項(xiàng)為n(n∈N*），則
lim
n→∞
Sn=
1
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，2nan+1=（n+1）an，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為（　�。�
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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