Question

已知函數(shù)f(x)=+x+（a-1）lnx+15a，其中a＜0，且a≠-1．
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
(Ⅱ)設函數(shù)（e是自然對數(shù)的底數(shù)）。是否存在a，使g(x)在[a，-a]上為減函數(shù)？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)f(x)的定義域為(0，+∞)，，
(1)若-1＜a＜0，則當0＜x＜-a時，f′(x)＞0；
當-a＜x＜1時，f′(x)＜0；
當x＞1時，f′(x)＞0，
故f(x)分別在（0，-a），(1，+∞)上單調(diào)遞增，在（-a，1）上單調(diào)遞減；
(2)若a＜-1，仿(1)可得f(x)分別在(0，1)，（-a，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，-a）上單調(diào)遞減；
(Ⅱ)存在a，使g(x)在[a，-a]上為減函數(shù)，
事實上，設h(x)=(-2x³+3ax²+6ax-4a²-6a)e^x(x∈R)，
則h′(x)=[-2x³+3(a-2)x²+12ax-4a²]e^x，
再設m（x）=-2x³+3（a-2）x²+12ax-4a²（x∈R），
則當g(x)在[a，-a]上單調(diào)遞減時，h(x)必在[a，0]上單調(diào)遞減，所以h′(a)≤0，
由于e^x＞0，因此m(a)≤0，
而m(a)=a²(a+2)，所以a≤-2，
此時，顯然有g(x)在[a，-a]上為減函數(shù)，當且僅當f(x)在[1，-a]上為減函數(shù)，h(x)在[a，1]上為減函數(shù)，且h(1)≥e·f(1)，
由(Ⅰ)知，當a≤-2時，f(x)在[1，-a]上為減函數(shù)， ①
又，②
不難知道，，
因m′(x)=-6x²+6（a-2）x+12a=-6(x+2)(x-a)，
令 m′(x)=0，則x=a，或x=-2，而a≤-2，于是
(1)當a＜-2時，若a＜x＜-2，則m′(x)＞0；
若-2＜x＜1，則m′(x)＜0，
因而m(x)在（a，-2）上單調(diào)遞增，在（-2，1）上單調(diào)遞減；
(2)當a=-2時；m′(x)≤0，m(x)在（-2，1）上單調(diào)遞減；
綜合(1)、(2)知，當a≤-2時，m(x)在[a，1]上的最大值為m（-2）=-4a²-12a-8，
所以，，③
又對x∈[a，1]，m(x)=0只有當a=-2時在x=-2取得，
亦即h′(x)=0只有當a=-2時在x=-2取得．
因此，當a≤-2時，h(x)在[a，1]上為減函數(shù)，
從而由①，②， ③知，-3≤a≤-2；
綜上所述，存在a，使g(x)在[a，-a]上為減函數(shù)，且a的取值范圍為[-3，-2]．