已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1（-1，0）、F2（1，0），且經(jīng)過點P(1，
3
2
)，M為橢圓上的動點，以M為圓心，MF2為半徑作圓M．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若圓M與y軸有兩個交點，求點M橫坐標(biāo)的取值范圍．
分析：（1）由題設(shè)知及橢圓定義得|PF1|+|PF2|=2a，求出a=2．又c=1．由此能求出橢圓方程．
（2）先設(shè)M（x0，y0），得到圓M的半徑r=
(x0-1)2+
y
2
0
，再利用圓心M到y(tǒng)軸距離d=|x0|，結(jié)合圓M與y軸有兩個交點時，則有r＞d，即可構(gòu)造關(guān)于x0不等式，從而解得點M橫坐標(biāo)的取值范圍．
解答：解：（1）由橢圓定義得|PF1|+|PF2|=2a，…（1分）
即2a=
(1+1)2+(
3
2
)2
+
(1-1)2+(
3
2
)2
=4，…（3分）
∴a=2．又c=1，∴b2=a2-c2=3．…（5分）
故橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1．…（6分）
（2）設(shè)M（x0，y0），則圓M的半徑r=
(x0-1)2+
y
2
0
，…（7分）
圓心M到y(tǒng)軸距離d=|x0|，…（8分）
若圓M與y軸有兩個交點則有r＞d即
(x0-1)2+
y
2
0
＞|x0|，…（9分）
化簡得
y
2
0
-2x0+1＞0．…（10分）
∵M(jìn)為橢圓上的點
∴
y
2
0
=3-
3
4
x
2
0
，…（11分）
代入以上不等式得3
x
2
0
+8x0-16＜0，
解得-4＜x0＜
4
3
．…（12分）
∵-2≤x0≤2，…（13分）
∴-2≤x0＜
4
3
．…（14分）
點評：本題考查橢圓方程和直線與圓錐曲線的關(guān)系，綜合性強(qiáng)，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標(biāo)原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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