Question

11．已知△ABC中，$\frac{{a}^{3}+^{3}-{c}^{3}}{a+b-c}$=c²，且acosB=bcosA．試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 利用正弦定理化簡bcosA=acosB，得sinBcosA=sinAcosB，由兩角差的正弦函數(shù)公式可得sin（A-B）=0，從而解得A=B，又由$\frac{{a}^{3}+^{3}-{c}^{3}}{a+b-c}$=c²，化簡可得（a+b）（a²+b²-ab）=（a+b）c²，即a²+b²-ab=c²，利用余弦定理可求cosC=$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍C∈（0，π），可得：C=$\frac{π}{3}$，從而解得三角形形狀為等邊三角形．

解答 解：利用正弦定理化簡bcosA=acosB，得：sinBcosA=sinAcosB，
∴sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）=0，
∴A-B=0，即A=B，可得：a=b，
又∵$\frac{{a}^{3}+^{3}-{c}^{3}}{a+b-c}$=c²，
∴可得：a³+b³-c³=ac²+bc²-c³，
∴（a+b）（a²+b²-ab）=（a+b）c²，
∴a²+b²-ab=c²，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∴由C∈（0，π），可得：C=$\frac{π}{3}$，
∴可得：A=B=C=$\frac{π}{3}$．
則三角形形狀為等邊三角形．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，兩角差的正弦函數(shù)公式，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于中檔題．