Question

9．已知函數(shù)f（x）=x-alnx-1，g（x）=$\frac{mx}{{e}^{x-1}}$，其中m、a均為實數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)m＞0時，試討論函數(shù)g（x）的極值情況；
（2）設(shè)m=1，a＜0，若對任意的x₁，x₂∈[3，4]（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|$\frac{1}{g（{x}_{2}）}$-$\frac{1}{g（{x}_{1}）}$|恒成立，求實數(shù)a的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）不妨設(shè)x₂＞x₁，則|f（x2）-f（x1）|＜|$\frac{1}{g（{x}_{2}）}$-$\frac{1}{g（{x}_{1}）}$|等價于：f（x₂）-f（x₁）＜h（x₂）-h（x₁），即f（x₂）-h（x₂）＜f（x₁）-h（x₁），分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值求出參數(shù)范圍即可．

解答 解：（1）g（x）=$\frac{mx}{{e}^{x-1}}$，m＞0，
g′（x）=$\frac{m（1-x）}{{e}^{x-1}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＜1，令g′（x）＜0，解得：x＞1，
∴g（x）在（-∞，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴x=1時，g（x）取得極大值，無極小值；
（2）a＜0時，f（x）=x-alnx-1，x∈（0，+∞），
∴f′（x）=$\frac{x-a}{x}$＞0在[3，4]恒成立，
∴f（x）在[3，4]上為增函數(shù)，
當(dāng)m=1時，g（x）=$\frac{x}{{e}^{x-1}}$，設(shè)h（x）=$\frac{1}{g（x）}$=$\frac{{e}^{x-1}}{x}$，
∵h(yuǎn)′（x）=$\frac{{e}^{x-1}（x-1）}{{x}^{2}}$＞0在[3，4]上恒成立，
∴h（x）在[3，4]上為增函數(shù)，
不妨設(shè)x₂＞x₁，則|f（x₂）-f（x₁）|＜|$\frac{1}{g（{x}_{2}）}$-$\frac{1}{g（{x}_{1}）}$|等價于：
f（x₂）-f（x₁）＜h（x₂）-h（x₁），
即f（x₂）-h（x₂）＜f（x₁）-h（x₁），
設(shè)u（x）=f（x）-h（x）=x-alnx-1-$\frac{{e}^{x-1}}{x}$，
則u（x）在[3，4]上為減函數(shù)，
∴u′（x）=1-$\frac{a}{x}$-$\frac{{e}^{x-1}（x-1）}{{x}^{2}}$≤0在[3，4]上恒成立，
∴a≥x-ex-1+$\frac{{e}^{x-1}}{x}$恒成立，∴a≥（x-ex-1+$\frac{{e}^{x-1}}{x}$）_max，x∈[3，4]，
設(shè)v（x）=x-ex-1+$\frac{{e}^{x-1}}{x}$，
∵v′（x）=1-ex-1+$\frac{{e}^{x-1}（x-1）}{{x}^{2}}$=1-e^x-1[（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$]，x∈[3，4]，
∴e^x-1[（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$]＞$\frac{3}{4}$e²＞1，
∴v'（x）＜0，v（x）為減函數(shù)，
∴v（x）在[3，4]上的最大值v（3）=$\frac{1}{3}$e²-3e+2，
∴a≥$\frac{1}{3}$e²-3e+2，
∴a的最小值為$\frac{1}{3}$e²-3e+2．

點評 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值和利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)范圍，屬于綜合題，在高考中經(jīng)常涉及．