Question

在數(shù)列{a_n}中，如果存在非零的常數(shù)T，使a_n+T=a_n，對(duì)于任意正整數(shù)n均成立，就稱數(shù)列{a_n}為周期函數(shù)，其中T叫做數(shù)列{a_n}的周期．已知數(shù)列{x_n}滿足x_n+2=|x_n+1-x_n|（x∈N^*），x₁=1，x₂=a．
①若a=0，則數(shù)列{x_n}的周期為3．
②若數(shù)列{x_n}的周期為3，則a=0．
③若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且周期為3，則S_3n=2n（n為常數(shù)）
④若a=3，則數(shù)列{x_n}的周期為4；
⑤若a=2，則數(shù)列{x_n}前2014項(xiàng)的和為1345．
則這五個(gè)命題中真命題是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：利用x₁=1，x₂=a，x_n+2=|x_n+1-x_n|（x∈N^*），對(duì)①②③④⑤五個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可得到答案．

解答： 解：∵x₁=1，x₂=a，x_n+2=|x_n+1-x_n|，
∴x₃=|a-1|，
①若a=0，則x₃=|0-1|=1，又?jǐn)?shù)列{x_n}的周期為3，
∴x₄=|x₃-x₂|=|1-0|=x₁=1，
同理可求x₅=0，x₆=1，
∴數(shù)列{x_n}為1，0，1，1，0，1，1，0，1，…
∴數(shù)列{x_n}的周期為3，正確；
②∵x₁=1，x₂=a，x_n+2=|x_n+1-x_n|，
∴x₃=|a-1|，又?jǐn)?shù)列{x_n}的周期為3，
∴x₄=|x₃-x₂|=||a-1|-a|=x₁=1，
解得：a=1或a=0，故②錯(cuò)誤；
③由②知a=1或a=0，
若a=0，由①知，數(shù)列{x_n}為1，0，1，1，0，1，1，0，1，…，
∴x₁+x₂+x₃=x₄+x₅+x₆=x₇+x₈+x₉=…=x_3n-2+x_3n-1+x_3n=2，
∴S_3n=2n；
若a=1，則x₁=x_3n-2=1，x₂=x_3n-1=1，x₃=x_3n=0，
∴S_3n=2n；
綜上所述，S_3n=2n，故③正確；
④若a=3，則x₂=a=3，x₃=|x₂-x₁|=|3-1|=2，x₄=|x₃-x₂|=|2-3|=1，
同理可求x₅=1，x₆=0，x₁≠x₅，故④錯(cuò)誤；
⑤若a=2，則x₂=a=2，x₃=|x₂-x₁|=|2-1|=1，x₄=|x₃-x₂|=|1-2|=1，
同理可求x₅=0，x₆=1，x₇=1，x₈=0…，
從第四項(xiàng)起，為1，0，1，1，0，1，1，0，1，…函數(shù)值周期出現(xiàn)，連續(xù)三項(xiàng)之和為2；
∵2014=671×3+1，
∴數(shù)列{x_n}前2014項(xiàng)的和為：（x₁+x₂+x₃）+670×2+1=1+2+1+1340+1=1345，故⑤正確．
綜上所述，五個(gè)命題中真命題是①③⑤．
故答案為：①③⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查函數(shù)的周期性與數(shù)列的求和，考查分類討論思想、綜合運(yùn)算能力與推理能力，屬于難題．