Question

15．已知函數(shù)f（x）=x³-3ax+e，g（x）=1-lnx，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線l：x+2y=0垂直，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)$F（x）=-x[g（x）+\frac{1}{2}x-2]$，若F（x）在區(qū)間（m，m+1）（m∈Z）內(nèi)存在唯一的極值點，求m的值；
（Ⅲ）用max{m，n}表示m，n中的較大者，記函數(shù)h（x）=max{f（x），g（x）}（x＞0）．若函數(shù)h（x）在（0，+∞）上恰有2個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f′（1），求出a的值即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)F（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值點，求出對應(yīng)的m的值即可；
（Ⅲ）通過討論a的范圍求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的零點個數(shù)確定a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ） 易得，f'（x）=3x²-3a，所以f'（1）=3-3a，
依題意，$（3-3a）（-\frac{1}{2}）=-1$，解得$a=\frac{1}{3}$；       …（3分）
（Ⅱ）因為$F（x）=-x[g（x）+\frac{1}{2}x-2]$=$-x[{（1-lnx）+\frac{1}{2}x-2}]$=$xlnx-\frac{1}{2}{x^2}+x$，
則F'（x）=lnx+1-x+1=lnx-x+2．設(shè)t（x）=lnx-x+2，
則$t'（x）=\frac{1}{x}-1$=$\frac{1-x}{x}$．
令t'（x）=0，得x=1．
則由t'（x）＞0，得0＜x＜1，F(xiàn)'（x）為增函數(shù)；
由t'（x）＜0，得x＞1，F(xiàn)'（x）為減函數(shù)；
而$F'（\frac{1}{e^2}）=-2-\frac{1}{e^2}+2$=$-\frac{1}{e^2}＜0$，F(xiàn)'（1）=1＞0．
則F'（x）在（0，1）上有且只有一個零點x₁，
且在（0，x₁）上F'（x）＜0，F(xiàn)（x）為減函數(shù)；
在（x₁，1）上F'（x）＞0，F(xiàn)（x）為為增函數(shù)．
所以x₁為極值點，此時m=0．
又F'（3）=ln3-1＞0，F(xiàn)'（4）=2ln2-2＜0，
則F'（x）在（3，4）上有且只有一個零點x₂，
且在（3，x₂）上F'（x）＞0，F(xiàn)（x）為增函數(shù)；
在（x₂，4）上F'（x）＜0，F(xiàn)（x）為減函數(shù)．
所以x₂為極值點，此時m=3．
綜上m=0或m=3．…（9分）
（Ⅲ）（1）當(dāng)x∈（0，e）時，g（x）＞0，依題意，h（x）≥g（x）＞0，不滿足條件；
（2）當(dāng)x=e時，g（e）=0，f（e）=e³-3ae+e，
①若f（e）=e³-3ae+e≤0，即$a≥\frac{{{e^2}+1}}{3}$，則e是h（x）的一個零點；
②若f（e）=e³-3ae+e＞0，即$a＜\frac{{{e^2}+1}}{3}$，則e不是h（x）的零點；
（3）當(dāng)x∈（e，+∞）時，g（x）＜0，所以此時只需考慮函數(shù)f（x）在（e，+∞）上零點的情況．
因為f'（x）=3x²-3a＞3e²-3a，所以
①當(dāng)a≤e²時，f'（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞增．
又f（e）=e³-3ae+e，所以
（i）當(dāng)$a≤\frac{{{e^2}+1}}{3}$時，f（e）≥0，f（x）在（e，+∞）上無零點；
（ii）當(dāng)$\frac{{{e^2}+1}}{3}＜a≤{e^2}$時，f（e）＜0，
又f（2e）=8e³-6ae+e≥8e³-6e³+e＞0，
所以此時f（x）在（e，+∞）上恰有一個零點；
②當(dāng)a＞e²時，令f'（x）=0，得$x=±\sqrt{a}$．
由f'（x）＜0，得$e＜x＜\sqrt{a}$；
由f'（x）＞0，得$x＞\sqrt{a}$；
所以f（x）在$（e，\sqrt{a}）$上單調(diào)遞減，在$（\sqrt{a}，+∞）$上單調(diào)遞增．
因為f（e）=e³-3ae+e＜e³-3e³+e＜0，f（2a）=8a³-6a²+e＞8a²-6a²+e=2a²+e＞0，
所以此時f（x）在（e，+∞）上恰有一個零點；
綜上，$a＞\frac{{{e^2}+1}}{3}$．…（13分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．