Question

4．請(qǐng)按要求完成下列兩題．
（Ⅰ）求由直線$x=-\frac{π}{3}$，$x=\frac{π}{3}$，y=0與曲線y=cosx所圍成的封閉圖形的面積．
（Ⅱ）求由直線y=x-4，曲線$y=\sqrt{2x}$及x軸所圍成的封閉圖形的面積．

Answer 1

分析 利用定積分表示面積，求出其原函數(shù)，即可求出面積．

解答 解：（Ⅰ）$\int_{-\frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}{cosxdx=sinx\left|\begin{array}{l}\frac{π}{3}\\-\frac{π}{3}\end{array}\right.}$=$sin\frac{π}{3}-sin（-\frac{π}{3}）=\sqrt{3}$…（5分）
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}y=x-4\\ y=\sqrt{2x}\end{array}\right.$得，$\sqrt{2x}=x-4$，即2x=（x-4）²，得x=4，x=2（舍）
所以兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（8，4），直線y=x-4與x軸的交點(diǎn)為（4，0）…（7分）
所以$S=\int_0^4{\sqrt{2x}}dx+\int_4^8{[\sqrt{2x}-（x-4）]}$=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}{x^{\frac{3}{2}}}\left|\begin{array}{l}4\\ 0\end{array}\right.+\frac{{2\sqrt{2}}}{3}{x^{\frac{3}{2}}}\left|\begin{array}{l}8\\ 4\end{array}\right.-\frac{1}{2}{（x-4）^2}\left|\begin{array}{l}8\\ 4\end{array}\right.$=$\frac{40}{3}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用定積分求面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．