Question

函數(shù)f（x）=

ex+x，x≥0 e-x-x，x＜0

，若f（-a）+f（a）≤2f（1），則實(shí)數(shù)a取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，-1]∪[1，+∞）
• B、[-1，0]
• C、[0，1]
• D、[-1，1]

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：討論a=0，a＞0，a＜0，化簡(jiǎn)不等式，構(gòu)造函數(shù)y=g（x）=2e^x+x，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，再由單調(diào)性解不等式，最后求并集．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

ex+x，x≥0 e-x-x，x＜0

，
當(dāng)a=0時(shí)，f（-a）+f（a）≤2f（1）即為2f（0）≤2f（1），即1≤e+1成立；
當(dāng)a＞0時(shí)，-a＜0，f（-a）+f（a）≤2f（1）即為2e^a+2a≤2（e+1），
令y=g（x）=2e^x+x，y′=2ex+1＞0，則y=2e^x+x在R上遞增．
由g（a）≤g（1）可得a≤1①
當(dāng)a＜0時(shí)，-a＞0，f（-a）+f（a）≤2f（1）即為2e^-a-2a≤2（e+1），
由y=g（x）=2e^x+x在R上遞增，又g（-a）≤g（1），即有-a≤1，即a≥-1②
由①②得實(shí)數(shù)a取值范圍是[-1，1]．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)及運(yùn)用，考查分類討論的思想方法及構(gòu)造函數(shù)應(yīng)用單調(diào)性解不等式的方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．