Question

若直線y=m（m＞0）是函數(shù)f（x）=

3

cos²ωx-sinωxcosωx-

3

2

（ω＞0）的圖象的一條切線，并且切點(diǎn)橫坐標(biāo)依次成公差為π的等差數(shù)列．
（1）求ω和m的值；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對(duì)邊．若（

A

2

，0）是函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，且a=4，b+c=5，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：數(shù)形結(jié)合法,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡得f（x）=cos（2ωx+

π

6

），從而由f（x）的圖象與直線y=m（m＞0）相切，得m=1．因?yàn)榍悬c(diǎn)橫坐標(biāo)依次成公差為π的等差數(shù)列，所以由周期T=

2π

2ω

=π，得ω=1．
（2）（

A

2

，0）是函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，先求出A，a的值，根據(jù)余弦定理確定bc=3，從而由面積公式可求△ABC的面積．

解答： 解：（1）f（x）=

3

×

1+cos2ωx

2

-

1

2

sin2ωx-

3

2

=cos（2ωx+

π

6

），
由f（x）的圖象與直線y=m（m＞0）相切，得m=1．
切點(diǎn)橫坐標(biāo)依次成公差為π的等差數(shù)列，所以周期T=

2π

2ω

=π，所以ω=1．
（2）由（1）知f(x)=cos(2x+

π

6

)，
令2x+

π

6

=

π

2

+2kπ，得x=

π

6

+kπ，k∈Z，
點(diǎn)（

A

2

，0）是函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，又A是△ABC內(nèi)角，
∴

A

2

=

π

6

，A=

π

3

，a=4，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc，即（b+c）²-3bc=16，
由b+c=5得bc=3
∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

•3•

3

2

=

3 3

4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用和余弦定理及三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．