Question

已知圓C₁：（x+3）²+y²=1和圓C₂：（x-3）²+y²=9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C₁及圓C₂相外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．

Answer 1

分析：設(shè)動(dòng)圓圓心M（x，y），動(dòng)圓M與C₁、C₂的切點(diǎn)分別為A、B，則|MC₁|-|AC₁|=|MA|，|MC₂|-|BC₂|=|MB|，從而可得|MC₂|-|MC₁|=2，利用雙曲線的定義，即可求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．

解答：解：設(shè)動(dòng)圓圓心M（x，y），動(dòng)圓M與C₁、C₂的切點(diǎn)分別為A、B，則|MC₁|-|AC₁|=|MA|，|MC₂|-|BC₂|=|MB|．
又∵|MA|=|MB|，
∴|MC₂|-|MC₁|=|BC₂|-|AC₁|=3-1=2，
即|MC₂|-|MC₁|=2，又∵|C₁C₂|=6，
由雙曲線定義知：動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以C₁、C₂為焦點(diǎn)，中心在原點(diǎn)的雙曲線的左支．
∵2a=2，2c=6，∴a=1，c=3，
∴b²=8．
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x²-

y2

8

=1（x≤-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查雙曲線的定義，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．