Question

【題目】設(shè)函數(shù)， （）．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)在處取得極大值，求正實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）.

【解析】試題分析：

(1)首先求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后結(jié)合參數(shù)分類討論，

當(dāng)時， 的單調(diào)增區(qū)間為；

當(dāng)時， 的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．

(2)求解的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合的結(jié)論分類討論可得正實數(shù)的取值范圍為．

試題解析：（Ⅰ）由， ，

所以．

當(dāng)， 時， ，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)， 時， ，函數(shù)單調(diào)遞增， 時， ，函數(shù)單調(diào)遞減．

所以當(dāng)時， 的單調(diào)增區(qū)間為；

當(dāng)時， 的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．

（Ⅱ）因為，

所以且．

由（Ⅰ）知①當(dāng)時， ，由（Ⅰ）知在內(nèi)單調(diào)遞增，可得當(dāng)時， ，當(dāng)時， ．

所以在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，不合題意．

②當(dāng)時， ， 在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時， ， 單調(diào)遞減，不合題意．

③當(dāng)時， ，當(dāng)時， ， 單調(diào)遞增，當(dāng)時， ， 單調(diào)遞減．

所以在處取極大值，符合題意．

綜上可知，正實數(shù)的取值范圍為．