Question

已知以下三條曲線：

x2

a2

+

y2

b2

=1，

x2

a2

-

y2

b2

=1，

y2

b2

-

x2

a2

=1（a＞b＞0）的離心率分別為e₁，e₂，e₃，對(duì)e₁，e₂，e₃給出下列四個(gè)命題：（1）e₁e₂＜1；（2）e₂＞e₃；（3）

1

e22

+

1

e32

=1；（4）e22+e32＞4．其中正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：由題設(shè)條件，利用橢圓、雙曲線的性質(zhì)推導(dǎo)出e1=

a2-b2

a

，e2=

a2+b2

a

，e3=

a2+b2

b

，由此進(jìn)行運(yùn)算，能求出結(jié)果．

解答：解：∵

x2

a2

+

y2

b2

=1，

x2

a2

-

y2

b2

=1，

y2

b2

-

x2

a2

=1（a＞b＞0）的離心率分別為e₁，e₂，e₃，
∴e1=

a2-b2

a

，e2=

a2+b2

a

，e3=

a2+b2

b

，
∴e₁e₂=

a2-b2

a

×

a2+b2

a

=

a4-b4

a2

=

1-( b a )4

＜1，
即（1）正確；
∵a＞b，∴e2=

a2+b2

a

＜e3=

a2+b2

b

，即（2）錯(cuò)誤；

1

e22

+

1

e32

=

a2

a2+b2

+

b2

a2+b2

=1，即（3）正確；
e22+e32=

a2+b2

a2

+

a2+b2

b2

=

a2b2+b4+a4+a2b2

a2b2

=2+

a4+b4

a2b2

≥4，即（4）正確．
故答案為：（1）（3）（4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓、雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．