Question

設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）若橢圓上的點(diǎn)A（1，

3

2

）到點(diǎn)F₁、F₂的距離之和等于4，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線(xiàn)過(guò)F₂斜率為

1

2

，交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）由已知得

1 a2 + 9 4b2 =1 2a=4

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）直線(xiàn)方程為y=

1

2

x-

1

2

，聯(lián)立

y= 1 2 x- 1 2 x2 4 + y2 3 =1

，得4x²-2x-11=0，由此能求出弦長(zhǎng)|AB|．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)．
橢圓上的點(diǎn)A（1，

3

2

）到點(diǎn)F₁、F₂的距離之和等于4，
∴

1 a2 + 9 4b2 =1 2a=4

，解得a²=4，b²=3，
∴橢圓C的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）∵直線(xiàn)過(guò)F₂（1，0）斜率為

1

2

，
∴直線(xiàn)方程為y=

1

2

x-

1

2

，
聯(lián)立

y= 1 2 x- 1 2 x2 4 + y2 3 =1

，得4x²-2x-11=0，
△＞0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

1

2

，x₁x₂=-

11

4

，
∴|AB|=

(1+ 1 4 )( 1 4 +4× 11 4 )

=

15

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查橢圓弦長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．