Question

已知焦點(diǎn)在y軸，頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線C₁經(jīng)過點(diǎn)P（2，2），以拋物線C₁上一點(diǎn)C₂為圓心的圓過定點(diǎn)A（0，1），記M，N為圓C₂與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)．
（1）求拋物線C₁的方程；
（2）當(dāng)圓心C₂在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷|MN|是否為一定值？請(qǐng)證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)圓心C₂在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記|AM|=m，|AN|=n，求

m

n

+

n

m

的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出拋物線方程，代入點(diǎn)P，即可求得p，進(jìn)而得到拋物線方程；
（2）方法一、求出圓C2的坐標(biāo)和半徑，得到圓的方程，令y=0，即可得到|MN|；
方法二、設(shè)出圓心C2，求出半徑，運(yùn)用弦長(zhǎng)公式，即可得到定值；
（3）不妨設(shè)M（a-1，0），N（a+1，0），求出m，n，得到

m

n

+

n

m

，討論a=0，a≠0，運(yùn)用基本不等式即可得到最大值．

解答： 解：（1）由已知，設(shè)拋物線方程為x²=2py，
2²=2p×2，解得p=1．
所求拋物線C₁的方程為x²=2y；
（2）法1：設(shè)圓心C₂（a，

a2

2

），則圓C₂的半徑r=

a2+( a2 2 -1)2

，
圓C₂的方程為（x-a）²+（y-

a2

2

）²=a²+（

a2

2

-1）²．
令y=0，得x²-2ax+a²-1=0，得x₁=a-1，x₂=a+1，
|MN|=|x₁-x₂|=2（定值）；
法2：設(shè)圓心C₂（a，b），因?yàn)閳A過A（0，1），所以半徑r=

a2+(b-1)2

，
因?yàn)镃₂在拋物線上，a²=2b，且圓被x軸截得的弦長(zhǎng)
|MN|=2

r2-b2

=2

a2+(b-1)2-b2

=2（定值）
（3）由（2）知，不妨設(shè)M（a-1，0），N（a+1，0），
m=

x12+1

=

(a-1)2+1

=

a2-2a+2

，n=

x22+1

=

(a+1)2+1

=

a2+2a+2

，
則

m

n

+

n

m

=

m2+n2

mn

=

2a2+4

a4+4

=2

1+ 4a2 4+a4

a=0時(shí)，

n

m

+

m

n

=2；a≠0時(shí)，

m

n

+

n

m

=2

1+ 4 a2+ 4 a2

≤2

2

．
故當(dāng)且僅當(dāng)a=±

2

時(shí)，

m

n

+

n

m

取得最大值2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查圓的方程和運(yùn)用，考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．