Question

如圖，在兩塊鋼板上打孔，用頂帽呈半球形，釘身為圓柱形的鉚釘（圖1）穿在一起，在沒有帽的一段每打出一個帽，使得與頂帽的大小相等，鉚合的兩塊鋼板，成為某種鋼結構的配件，其截面圖如圖2（單位：mm）（加工中不計損失）．
（1）若釘身長度是頂帽長度的2倍，求鉚釘?shù)谋砻娣e；
（2）若每塊鋼板的厚底為12mm，求釘身的長度（結果精確到1mm）．

Answer 1

考點：組合幾何體的面積、體積問題

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）根據(jù)圖象結合圓柱和球的表面積公式即可求鉚釘?shù)谋砻娣e；
（2）根據(jù)體積公式即可求釘身的長度．

解答： 解：（1）設釘身的高為h，釘身的底面半徑為r，釘帽的底面半徑為R，
由題意可知圓柱的高h=2R=38，圓柱的側面積S₁=2πrh=760π，
半球的表面積S₂=

1

2

×4πR2+πR2=1083π，
故鉚釘?shù)谋砻娣eS=S₁+S₂=760π+1083π=1843π．
（2）V₁=πr²h₁=100×24π=2400π，V₂=

1

2

×

4

3

πR3=

2

3

×193π=

13718π

3

，
設釘身的長度為l，則V₃=πr²•l=100πl(wèi)，
由于V₃=V₁+V₂，
∴2400π+

13718π

3

=100πl(wèi)，
解得l≈70mm．

點評：本題主要考查空間幾何體的體積和表面積的計算，要求熟練掌握相應的表面積和體積公式．