Question

5．“五一”假期期間，某餐廳對(duì)選擇A、B、C三種套餐的顧客進(jìn)行優(yōu)惠．對(duì)選擇A、B套餐的顧客都優(yōu)惠10元，對(duì)選擇C套餐的顧客優(yōu)惠20元．根據(jù)以往“五一”假期期間100名顧客對(duì)選擇A、B、C三種套餐的情況得到下表：

選擇套餐種類	A	B	C
選擇每種套餐的人數(shù)	50	25	25

將頻率視為概率．
（I）若有甲、乙、丙三位顧客選擇某種套餐，求三位顧客選擇的套餐至少有兩樣不同的概率；
（II）若用隨機(jī)變量X表示兩位顧客所得優(yōu)惠金額的綜合，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圖表結(jié)合頻率視為概率求出顧客選擇A、B、C三種套餐的概率，然后利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求出三位顧客選擇的套餐都同的概率，再由對(duì)立事件的概率求得三位顧客選擇的套餐至少有兩樣不同的概率；
（Ⅱ）由題意知兩位顧客獲得優(yōu)惠金額X的可能取值為20，30，40．求出三種情況的概率，可得分布列再由期望公式求得X的期望．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知，顧客選擇A、B、C三種套餐的概率分別為$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$，
甲、乙、丙三位顧客選擇的套餐都同的概率為$P={（{\frac{1}{2}}）^3}+2{（{\frac{1}{4}}）^3}=\frac{5}{32}$，
∴三位顧客選擇的套餐至少有兩樣不同的概率為$1-P=\frac{27}{32}$；
（Ⅱ）由題意知兩位顧客獲得優(yōu)惠金額X的可能取值為20，30，40．
$P（X=20）=（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{4}）^{2}+{C}_{2}^{1}•\frac{1}{2}•\frac{1}{4}=\frac{9}{16}$，
$P（X=30）={C}_{2}^{1}•\frac{1}{4}•（\frac{1}{2}+\frac{1}{4}）=\frac{3}{8}$，
$P（{X=40}）={（{\frac{1}{4}}）^2}=\frac{1}{16}$，
綜上可得X的分布列為：

X	20	30	40
P	$\frac{9}{16}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{16}$

X的數(shù)學(xué)期望$EX=20×\frac{9}{16}+30×\frac{3}{8}+40=25$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量及其分布，考查相互獨(dú)立事件概率的求法，是中檔題．