【題目】已知函數(shù)的在數(shù)集上都有定義,對于任意的,當(dāng)時(shí),成立,則稱是數(shù)集的限制函數(shù).

(1)求上的限制函數(shù)的解析式;

(2)證明:如果在區(qū)間上恒為正值,則上是增函數(shù);[注:如果在區(qū)間上恒為負(fù)值,則在區(qū)間上是減函數(shù),此結(jié)論無需證明,可以直接應(yīng)用]

(3)利用(2)的結(jié)論,求函數(shù)上的單調(diào)區(qū)間.

【答案】(1);(2)證明見解析;(3)見解析.

【解析】

1)由題目給出的條件,構(gòu)造,根據(jù)條件驗(yàn)證可得所求函數(shù);
2)運(yùn)用反證法,即可得證;
3)求得,根據(jù)第二問結(jié)論由大于0,可得增區(qū)間;小于0,可得減區(qū)間.

解:(1)任意的,;

由于任意性:;

故構(gòu)造;

由冪函數(shù)性質(zhì)得單調(diào)遞減,

且易得:,滿足題意,

故:

(2)運(yùn)用反證法,即假設(shè)上不是增函數(shù),
上是減函數(shù),可得在區(qū)間上恒為負(fù)值;
上是常數(shù)函數(shù),可得在區(qū)間上恒為零;

上是有增有減,可得在區(qū)間上可能為正可能為負(fù);
這與在區(qū)間上恒為正值矛盾,故上是增函數(shù);

(3)任意的,當(dāng),

,

構(gòu)造

任取,,

,

,

故:,

是數(shù)集的限制函數(shù),

,解得

利用(2)結(jié)論,當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增,

,解得

利用(2)結(jié)論,當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列命題中:

①已知點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,則點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓;

②已知,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線;

③兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的絕對值就越接近于1;

④在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),到點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線;

正確的命題是_________

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】采用系統(tǒng)抽樣方法從1000人中抽取50人做問卷調(diào)查,為此將他們隨機(jī)編號(hào)1,, ,1000,適當(dāng)分組后在第一組采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號(hào)碼為8,抽到的50人中,編號(hào)落入?yún)^(qū)間的人做問卷A,編號(hào)落入?yún)^(qū)間的人做問卷B,其余的人做問卷C,則抽到的人中,做問卷C的人數(shù)為( )

A. 12 B. 13 C. 14 D. 15

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如右圖,一個(gè)直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內(nèi)壁的逆時(shí)針方

向滾動(dòng),MN是小圓的一條固定直徑的兩個(gè)端點(diǎn).那么,當(dāng)小圓這

樣滾過大圓內(nèi)壁的一周,點(diǎn)M,N在大圓內(nèi)所繪出的圖形大致是( )

A.B.

C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某小組有7個(gè)同學(xué),其中4個(gè)同學(xué)從來沒有參加過天文研究性學(xué)習(xí)活動(dòng),3個(gè)同學(xué)曾經(jīng)參加過天文研究性學(xué)習(xí)活動(dòng).

1)現(xiàn)從該小組中隨機(jī)選2個(gè)同學(xué)參加天文研究性學(xué)習(xí)活動(dòng),求恰好選到1個(gè)曾經(jīng)參加過天文研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的同學(xué)的概率;

2)若從該小組隨機(jī)選2個(gè)同學(xué)參加天文研究性學(xué)習(xí)活動(dòng),則活動(dòng)結(jié)束后,該小組有參加過天文研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的同學(xué)個(gè)數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在直角坐標(biāo)平面內(nèi),直線l過點(diǎn)P(1,1),且傾斜角α.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin θ.

(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程;

(2)設(shè)直線l與圓C交于AB兩點(diǎn),求|PA|·|PB|的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念,某城區(qū)對轄區(qū)內(nèi),三類行業(yè)共200個(gè)單位的生態(tài)環(huán)境治理成效進(jìn)行了考核評估,考評分?jǐn)?shù)達(dá)到80分及其以上的單位被稱為“星級(jí)”環(huán)保單位,未達(dá)到80分的單位被稱為“非星級(jí)”環(huán)保單位.現(xiàn)通過分層抽樣的方法獲得了這三類行業(yè)的20個(gè)單位,其考評分?jǐn)?shù)如下:

類行業(yè):85,82,7778,8387;

類行業(yè):7667,80,85,79,81;

類行業(yè):8789,7686,7584,90,82

(Ⅰ)計(jì)算該城區(qū)這三類行業(yè)中每類行業(yè)的單位個(gè)數(shù);

(Ⅱ)若從抽取的類行業(yè)這6個(gè)單位中,再隨機(jī)選取3個(gè)單位進(jìn)行某項(xiàng)調(diào)查,求選出的這3個(gè)單位中既有“星級(jí)”環(huán)保單位,又有“非星級(jí)”環(huán)保單位的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】一種作圖工具如圖1所示.是滑槽的中點(diǎn),短桿可繞轉(zhuǎn)動(dòng),長桿通過處鉸鏈與連接,上的栓子可沿滑槽AB滑動(dòng),且,.當(dāng)栓子在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí),帶動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)一周(不動(dòng)時(shí),也不動(dòng)),處的筆尖畫出的曲線記為.以為原點(diǎn),所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系.

)求曲線C的方程;

)設(shè)動(dòng)直線與兩定直線分別交于兩點(diǎn).若直線總與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),試探究:的面積是否存在最小值?若存在,求出該最小值;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,數(shù)列為等比數(shù)列,且,.

(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)數(shù)列是由所有的項(xiàng),且的項(xiàng)組成的數(shù)列,且原項(xiàng)數(shù)先后順序保持不變,求數(shù)列的前2019項(xiàng)的和

(3)對任意給定的是否存在使成等差數(shù)列?若存在,用分別表示(只要寫出一組即可);若不存在,請說明理由.

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