Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-ax+（3-a）lnx，a∈R．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線2x-y+1=0垂直，求a的值；
（2）設(shè)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁＜x₂，求證：f（x₁）+f（x₂）＞-5．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出a的值，
（2）根據(jù)x₁，x₂為f′（x）=0的兩根，求出a的范圍，再根據(jù)韋達(dá)定理得到f（x₁）+f（x₂）=-$\frac{1}{2}$a²+a-3+（3-a）ln（3-a），構(gòu)造函數(shù)h（a）=-$\frac{1}{2}$a²+a-3+（3-a）ln（3-a），a∈（2，3），求出函數(shù)的最小值大于5即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=x-a+$\frac{3-a}{x}$=$\frac{{x}^{2}-ax+3-a}{x}$，
∴k=f′（1）=4-2a，
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線2x-y+1=0垂直，
∴k=-$\frac{1}{2}$，
∴4-2a=-$\frac{1}{2}$，
解得a=$\frac{9}{4}$
（2）由題意，x₁，x₂為f′（x）=0的兩根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-4（3-a）＞0}\\{a＞0}\\{3-a＞0}\end{array}\right.$，
∴2＜a＜3，
又∵x₁+x₂=a，x₁x₂=3-a，
∴f（x₁）+f（x₂）=$\frac{1}{2}$（x₁²+x₂²）-a（x₁+x₂）+（3-a）lnx₁x₂，
=f（x）=-$\frac{1}{2}$a²+a-3+（3-a）ln（3-a），
設(shè)h（a）=-$\frac{1}{2}$a²+a-3+（3-a）ln（3-a），a∈（2，3），
則h′（a）=-a-ln（3-a），
∴h″（a）=-1+$\frac{1}{3-a}$=$\frac{a-2}{3-a}$＞0，
故h′（a）在（2，3）遞增，又h′（2）=-2＜0，
當(dāng)a→3時(shí)，h′（a）→+∞，
∴?a₀∈（2，3），
當(dāng)a∈（2，a₀）時(shí)，h（a）遞減，當(dāng)a∈（a₀，3）時(shí)，h（a）遞增，
∴h（a）_min=h（a₀）=-$\frac{1}{2}$a₀²+a₀-3+（3-a₀）ln（3-a₀）＞-$\frac{1}{2}$a₀²+a₀-3+（3-a₀）（-a₀）=$\frac{1}{2}$a₀²-2a₀-3=$\frac{1}{2}$（a₀-2）²-5＞-5．
∴?a∈（2，3），h（a）＞-5，
綜上，f（x₁）+f（x₂）＞-5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于難題．