Question

15．若?x＞0，4a＞x²-x³恒成立，則a的取值范圍為（　　）

• A． $（{\frac{1}{27}，+∞}）$
• B． $（{\frac{4}{27}，+∞}）$
• C． $[{\frac{1}{27}，+∞}）$
• D． $[{\frac{4}{27}，+∞}）$

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)法，研究f（x）=x²-x³（x＞0）的最值，進而根據(jù)?x＞0，4a＞x²-x³恒成立，可得a的取值范圍．

解答 解：設(shè)f（x）=x²-x³（x＞0），
則f′（x）=2x-3x²=x（2-3x），
當(dāng)$x＞\frac{2}{3}$時，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當(dāng)$0＜x＜\frac{2}{3}$時，f′（x）＞0，f（x）遞增．
∴$f{（x）_{max}}=f（{\frac{2}{3}}）=\frac{4}{27}$，
∴$4a＞\frac{4}{27}$，
∴$a＞\frac{1}{27}$．
故選：A．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，難度中檔．